莱布尼茨级数

莱布尼茨从一段圆弧开始。他特别考察半径为1和中心在点（1, 0）的圆，如图2-8所示。他把这个圆的四分之一作为他的一般变换定理里的曲线AB。下面马上就会看到，这是一个富有灵感的选择。

圆的方程为，或者取另一种形式。由几何图形可知这段四分之一圆弧下的面积是，所以由式（1）和式（5）可得

菜布尼茨利用他新创建的积分，对圆的方程求微分，得到，于是。这使式（1）简化成

莱布尼茨的目标是求得由割圆曲线z的项来表示x的表达式，因此他将上式平方并利用圆的方程，得到，从中解出

挑战在于计算图2-9中阴影区域的面积。考虑割圆曲线的图形，并按上述推导过程，证实

＝面积（阴影区域）

＝面积（正方形）－面积（上方区域）＝ （8）

回到变换定理，莱布尼茨把式（7）和式（8）结合起来，得到

他将最后的被积函数重写成

其中方括号内出现了一个等比级数。据此，莱布尼茨推断

化简成

这就是莱布尼茨级数。

这是一个奇妙的级数。它的项遵循一个极为普通的模式：带有交替正负号的奇数的倒数。然而最重要的是，这个看似不起眼的表达式的和为。莱布尼茨回忆当他第一次将这个结果同惠更斯交流时，他得到热烈的赞扬，因为“惠更斯给予了极高的评价，并且在退回这篇论文的附信中说，这在数学家中是一个值得永远记住的发现”。

按照莱布尼茨的说法，这个发现的意义在于“第一次证明了圆的面积恰好等于有理数的一个级数”。也许有人会对他用“恰好”一词挑毛病，但是很难同他的热情争辩。

他追加了一个离奇的补遗。通过对式（9）两端除2，并组合其中的项，莱布尼茨发现

就是说，这个等式表明，如果我们从2开始对每个相间的偶数的平方减1的倒数求和，结果为。多么神奇！这提醒人们，分析学家手中的公式近乎魔术一般。

莱布尼茨级数在形式上是著名的，但如果用它计算π的近似值则毫无价值。这个级数是收敛的，不过收敛极为缓慢。如果对莱布尼茨级数的前300项求和，仅能得到π的精确到一位小数的近似值。这么糟糕的精度是不值得费力地去求和的。但是，我们将会看到，在欧拉手中，一个相关的无穷级数将产生一个高效的计算π的近似值的方法。

毫无疑问，莱布尼茨级数是一个微积分学的杰作。然而，按照惯例，当讨论这些早期的结果时，我们必须提出一些注意事项。值得一提的第一件事，是变换定理使用了无穷小推理。另一件事，是莱布尼茨在求其级数的值时需要用无限多积分项之和代替无限多项之和的积分，这样一个步骤，它的微妙性将成为未来几个世纪面对的问题。

同时，还有另外一个问题：莱布尼茨并不是第一个发现这个级数的人。英国数学家詹姆斯·格雷戈里在其几年前已经发现一个非常相似的级数。事实上，格雷戈里得到了反正切函数的展开式，即

当时，这就是莱布尼茨级数（虽然格雷戈里也许实际上并未作过代换，没有将这个函数级数转换成数值级数）。

在1674年，作为数学新手的莱布尼茨并不知道格雷戈里的成果，并相信他自己找到了新东西。这反过来让他的英国对手对他投以怀疑的目光。对他们来说，莱布尼茨具有攫取他人成果的倾向。这些怀疑在18世纪初期自然会被进一步放大，因为那时在牛顿亲自指挥下，整个英国都在指责莱布尼茨剽窃微积分的抄袭行为。级数中的这笔糊涂账被当作是莱布尼茨背信弃义的最初例证。

但是，即使是格雷戈里也不是第一个涉足这条道路的人。我们在前一章中提到的印度数学家尼拉坎塔在一本名为Tantrasangraha的书中描述了这个级数，还是用韵文的形式。虽然这一成果在莱布尼茨时代的欧洲尚不为人知，但这件事提醒世人，数学是全人类的事业。

尽管有格雷戈里和尼拉坎塔的成果，但是我们知道莱布尼茨的级数推导不是剽窃行为。后来他在1674年写道，不论是他还是惠更斯“或者任何一个在巴黎的其他人，完全没有听说过任何关于通过有理数的无穷级数表示圆面积的报道”。像发明通常的微积分一样，莱布尼茨级数是一项属于个人的成就。

在接下来的20多年里，当莱布尼茨完善、整理并且发表了他关于微分学和积分学的思想后，这个新手变成为一位大师。在这样的起点上，这门学科将在未来的一个世纪发展起来——事实上将迅猛地成长s。我们将继续讲述这个故事，谈谈他在瑞士的两位最著名的追随者，即伯努利兄弟二人。