牛顿的正弦级数推导

考虑图1-3中以原点为圆心和半径等于1的圆的四分之一。同以前一样，令，。牛顿的第一个目标是求圆弧αD的长度的表达式。

从D引出圆弧的切线DT，并且令BK为“基底AB的增量”。在一种表示法中，我们令，这成为牛顿之后的一种标准记号。这样就建立了一个“无限小的”直角三角形DGH，牛顿把它的斜边DH视为圆弧αD的增量。我们用表示，其中代表圆弧αD的长度。由于这一切都是发生在单位圆内，所以的弧度也是z。

在这种情况下，无限小的三角形DGH与三角形DBT相似，所以有。此外，半径AD与切线DT垂直，所以高线BD将直角三角形ADT分成两个相似三角形DBT和ABD。由此推出，。从这两个比例关系，我们可以推出。采用上面的微分记号，可得。因此，。

在下一步推导中牛顿利用圆的关系，得到。像式（3）那样展开，导出

所以

对这些单独的乘方项求面积，并用法则3对结果求和，牛顿得到圆弧αD的弧长为

再度审视图1-3，我们看到z不仅仅是的弧度，也是的弧度。由三角形ABD可知，，所以

因此，从代数表达式开始，牛顿利用他的广义二项展开式和基本的积分推导出反正弦的级数，这是本质上更为复杂的一个关系式。

然而，牛顿还有一个锦囊妙计。他不去求用横坐标（x）表示的弧长（z）的级数，而是寻找相反的过程。他写道：“如果需要从已知弧长αD求AB的正弦，那么我对上面导出的表达式求根。”就是说，牛顿利用他的逆过程，将的级数转换成的级数。

按照前面描述的方法，我们从把作为第一项开始。为把级数展开推进到下一步，将代入式（10），并且解出

我们仅从这个解中保留。这样就将级数扩展成。下一步引进，继续这个逆过程，解出

或者化简为。到这一步，级数变成，并且，也许像牛顿所说的那样，我们“继续随意地”推导下去，直至发现级数项的通用模式，然后书写下分析学中最重要的一个级数：

为了获得更准确的曲线弧长，牛顿又推导了余弦级数。按照Derek Whiteside的说法，“关于正弦和余弦的这些级数第一次出现在欧洲人的手稿中”。

牛顿的正弦级数和余弦级数（1669）

对我们来说，这种推导所兜的圈子看起来是不可思议的。我们现在把正弦级数视为不过是泰勒公式和微分学的一个微不足道的推论而已。所以我们自然而然地以为它一直就是这样简单的。但是，正如我们所见，牛顿克服了重重困难才得到这个结果。他运用了积分法则而不是微分法则；他从（我们认为）偶然的反正弦级数产生正弦级数；同时，他需要运用他所提出的复杂的逆过程方案来完成全部推导。

这个历史片段提醒我们，数学并不是按照现在教科书中的方式发展的。相反，它是通过断断续续地在出乎意料的惊喜中发展起来的。事实上，那是相当有趣的，因为历史在一下子变得有意义、美好和出乎意料的时候，它是极具吸引力的。

谈到出乎意料这个话题，我们就Derek Whiteside在上面那段话中的评判补充一句。看起来牛顿并不是第一个发现正弦级数的人。印度数学家尼拉坎塔（1445—1545)在公元1545年描述过这个级数，并且把它归功于更久远的前辈马达维（生活在公元1400年前后)。关于这些发现和印度数学中的优良传统的叙述可以从文献和中查到。但是，这些成果在牛顿活跃的时代的欧洲自然不为人们所知。

我们以两点评论作为本章的结束语。第一，牛顿的《分析学》是一本真正的数学经典，是任何一位对微积分的历程感兴趣的人都应拥有的读物。从中可以瞥见这位历史上最具创造力的思想家在其才智发展的早期阶段的情况。

第二，用现在的眼光看来，一场轰轰烈烈的革命开始了。年轻的牛顿以其超越时代的专业才能和洞察力把无穷级数和流数法结合起来，将数学的前沿推向若干新的发展方向。与他同时代的詹姆斯·格雷戈里（1638—1675）评论过去的初等方法对于产生同样关联的这些新方法，就如同“黎明的晨曦对于正午的阳光”。正如我们在后面几章将要多次看到的，格雷戈里这种令人陶醉的描述是恰如其分的。同时，第一个走向这条激动人心的道路的人是牛顿，他确实不愧为“一位具有非凡天赋和卓越才能的人物”。