2015年全国各地高考数学试题综述

2015年全国各地高考数学试卷共16套，分别是新课标全国Ⅰ卷、新课标全国Ⅱ卷、天津卷、广东卷、浙江卷、福建卷、湖南卷、湖北卷、北京卷、陕西卷、山东卷、安徽卷、江苏卷、四川卷、重庆卷、上海卷.纵观全国各地的数学高考试题，整体呈现以下特点：顺应课改，立足教材，重视基础，回归本源，求实创新，异彩纷呈.试题大都贴近中学数学教学的实际情况，对于中学数学的基础知识、基本技能、常见方法进行了着重考查，同时兼顾考查学生继续学习所应具备的数学素养和潜能.试题关注学生对于数学学科本质的理解，大部分试卷能够做到高视点、多角度、分层次地考查学生的数学思维能力，注重学生数学应用意识的培养.

1.注重考查基础，突出主干知识

纵观2015年各省市的高考题，都十分重视对现行高中数学教材中的数学基础知识、基本技能的考查，利用选择题和填空题覆盖必修模块与选修1、2系列的大部分知识点，内容主要包括：集合与逻辑、复数、平面向量、函数性质、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、三视图、空间几何体与线面位置关系、直线与圆、圆锥曲线、框图、不等式与线性规划、排列组合与二项式定理、概率与统计、导数与定积分等.“双基”的试题重视概念考查，常规题型占大多数，解决问题注重通性通法，很多试题立足于课本又不拘泥于课本.

占试卷分值较大的解答题，是区分和选拔人才的重头戏，2015年全国各地试卷都侧重于考查高中数学的主干知识，基本遵循三角函数、概率和统计应用题、立体几何、函数与导数、圆锥曲线、数列与方程不等式六大板块命题.设计试题时注意以知识为载体考查数学思想方法，体现对数学的理解，兼顾严谨性、应用性、综合性、创新性，从而深刻考查学生的数学素养.

2.重视基本能力，强化思想方法

数学是具有方法论意义的学科，强化思想方法的考查，是识别学生潜能的有效途径.数学思想方法蕴涵于数学基础知识之中，中学数学应用广泛的函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想，在2015年的高考题中都得到充分考查.

重视能力考查是高考命题的基本理念，2015年全国各地高考数学试题注重拓宽题材，通过多样化的选材和恰当的设问，有层次地考查数学能力，揭示数学本质.即使对基础知识的考查，也力求推陈出新，注意试题背景的丰富性、知识点考查的层次性、设问的开放性，而对承担选拔性功能的试题，则更加注重知识的交叉、渗透和综合，问题的呈现讲究开放性、探究性，给学生更多展示能力的空间.

3.关注实践，考查学生的应用意识

加强数学与现实的联系是数学课程改革的一个重要导向，也是数学学习的一个重要目标.因此，2015年全国各地的高考数学试题从学生的生活实际出发命制考查应用数学意识的题目，这些试题的意义在于让学生感受到数学的实用性和广泛性，体验数学的建模思想和应用价值.

例1（2015新课标1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

注：.

（1）根据散点图判断，y=a+bx与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.

（3）已知这种产品的年利率z与x，y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），……，（un，vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

此题以经济社会中非常普遍的现象产品宣传为背景，考察非线性拟合、线性回归方程求法以及利用回归方程进行预报预测等知识和方法，在具有时代性和现实性的问题中考查对知识的运用，可使学生感受到数学的广泛应用性，培养学生的应用意识.

例2（2015上海）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Εξ1-Εξ2=______（元）.

此题以统计概率的源起——赌博问题为背景，考查概率知识的实际应用.试题取材于学生熟悉的生活实际，不仅考查了学生对于相关数学知识的理解水平，也检测了学生将知识迁移到现实情境的能力，从而检测了学生应用知识分析问题、解决问题的能力，实现对考生应用意识的考查，并对学生进行了思想教育，具有一定的教育功能.

例3（2015北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是______；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是______.

此题考查学生阅读图表，提取信息、分析信息的能力，这些都是今后工作生活中需要具备的能力.在第① 问里，关注的不是甲、乙两位同学名次之间的关系，而是他们各自的语文成绩与总成绩的相关程度，关注的是如何利用成绩分布信息分析一名学生在不同课程中的学习状况，找到他的优势科目.这对学生后续阶段的学习以及选择专业方向都有积极意义.在第 ② 问里，同样是学生自己的数学成绩与自己的语文成绩比较，解此题的关键是要搞清楚丙在第一个图里对应的点是哪个.

除了在传统的排列组合题、概率统计题中加入应用元素外，不少省市也将函数、三角、解析几何、导数等其他内容与实际结合.

例4（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A.5

B.6

C.8

D.10

例5（2015四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时______.

例6（2015湖北）一种作图工具如图（1）所示.O是滑槽AB的中点，短杆O N可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系.

（1）求曲线C的方程.

（2）设动直线l与两定直线l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

数学应用问题的考查，在一定程度上反映了学生对数学概念和规律的本质理解，更反映出学生运用数学方法定量客观理性分析问题的思维习惯，而这些正是一个现代公民应该必备的基本数学素养.

4.培养学生的探究能力

2015年高考题在强调对基础知识考查的同时，继续以往的风格，设计了有关阅读理解、类比推广、探索创新的研究性学习问题，强调对探究能力的考查，体现了高中数学新课程的理念.

例7（2015上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π.

（1）验证是以6π为周期的余弦周期函数.

（2）设a＜b.证明对任意c∈f（a），f（b）[ ]，存在x0∈ [a，b]，使得f（x0）=c.

（3）证明：“u0 为方程cosf（x）=1在 [0，T] 上得解”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在[T，2T]上有解”，并证明对任意x∈ [0，T]都有f（x+T）=f（x）+f（T）.

此题是一道新定义型题目，学生先学习以前没有接触过的新知识余弦周期函数，运用它做进一步的运算推理和证明，达到解决问题的目的，考查学生学会学习的能力，这种能力很大程度上依靠学生平时数学素质的培养和积累.这种类型的题目不仅仅是让学生掌握一些知识，而是把数学作为一种材料和工具，侧重对数学的理解和运用，检测学生把知识迁移到新情境中的能力.

5.蕴涵数学文化价值

源于数学文化的新题型以其丰富的数学思想，真实的生活背景，广阔的文化视野以及培养学生良好的情感态度等优点，在2015年的高考试题中占有一定的比例.

例8（2015重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.

（1）求三种粽子各取到1个的概率.

（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.

该题的背景饱含了中国传统文化的气息，它以学生所熟知的端午节吃粽子为题面，考查古典概型及其概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望等基础知识.试题背景公平，难度适中，在知识考查的同时，既有人文背景，又体现了数学文化.

例9（2015湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）.

A.134石

B.169石

C.338石

D.1365石

《九章算术》中蕴涵了丰富的统计学思想，包含了诸如统计分组、抽样推断、线性回归分析以及比例关系等统计理论.该题考查用样本估计总体，虽然不难，但以一本历经两千年的数学名著为背景，其中所表现出来的人文精神有着深刻的教育意义.

例10（2015湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.

（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由.

（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值.

此题取材于《九章算术》商功章中与中学立体几何内容密切联系的背景阳马和鳖臑，首先需要学生读懂“阳马”和“鳖臑”的含义，然后据此进行判断和应用，考查四棱锥的性质线、面垂直的性质与判定以及二面角.使学生初步了解我国古代把几何体进行分割组合进行研究的方法，感受古代数学的魅力

《九章算术》是集我国古代数学思想方法于集大成的经典之作，全书以应用问题求解的形式为成书体例，算题在取材上丰富多彩，引人入胜，它的算法化思想、筹算制度、数形结合思想和直觉把握的方法值得深入研究和挖掘，把书中的算题改编成高考试题，不仅可以促进学生对数学知识的理解，激发学生对数学的兴趣，而且可以传承民族文化、振奋民族精神.

承载试题的素材正从单一的纯数学的情境转向生活的、人文的以及历史的，这种变化给数学高考带来了活力和色彩.这样的考题进入高考，将引领学生关注数学的文化价值，形成对数学的全面认识.