1.2 实训案例

案例一：

小王是位热心公众事业的人，自2000年12月底，他每年都向一位失学儿童捐款1000元。他将帮助这位失学儿童读完九年义务教育。

问题：

假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年捐款在2009年年底相当于多少钱？

案例分析：

小王的捐款如图1-1所示。

在如图1-1中，每个结点的1000元均表示每年年底的捐款，9年捐款的终值，相当于将2000—2009年每年年底的捐款1000元都计算到2009年年底终值，然后再求和。则小王9年的捐款终值计算如下：

因此，9年后，小王的捐款终值为9754.6元。

案例二：

秘鲁国家矿业公司决定将其西南部的一处矿产开采权进行公开拍卖，它向世界各国煤炭企业招标开矿。英国的托特纳姆公司和西班牙的巴塞罗那公司的投标书最具有竞争力。托特纳姆公司的投标书显示，该公司如取得开采权，将从获得开采权的第1年开始，于每年年末向秘鲁政府缴纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结束。巴塞罗那公司的投标书则显示，该公司在取得开采权时，将直接付给秘鲁政府40亿美元，等8年后开采结束，再付60亿美元。

问题：

如秘鲁政府要求的开矿年投资回报率达到15%，请问秘鲁政府应接受哪家公司的投标？

案例分析：

要回答上述问题，主要是比较两家公司给秘鲁政府的开采权收入的大小。但由于两家公司支付开采权费用的时间不同，因此不能直接进行比较，而应比较这些支出在第10年终值的大小。试分析如下。

托特纳姆公司的方案对秘鲁政府而言是一笔年收款10亿美元的10年年金，其终值计算如下：

F=A× F Ai n = × F A=×== ×A ( / , , ) 10( / ,15%,10) 1020.304203.04（亿美元）

巴塞罗那公司的方案对秘鲁政府而言则是两笔收款，应分别计算其终值。

第1笔收款（40亿美元）的终值计算如下：

F=P ×（1+i）n =P ×(F/P,i,n)=40×(F/P,15%,10)=40×4.0456=161.824（亿美元）

第2笔收款（60亿美元）的终值计算如下：

F=P ×（1+i）n =P ×(F/P,i,n)=60×(F/P,15%,2)=60×1.3225=79.35（亿美元）

则合计终值为241.174亿美元。

根据以上计算结果可知，秘鲁政府应接受巴塞罗那公司的投标。

案例三：

钱小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案。其中一个方案是：某开发商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10万元，然后分6年每年支付3万元，于每年年底支付。

问题：

假定当前的住房贷款年利率为6%，钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱，好让她与现在2000元/平方米的市场价格进行比较。

案例分析：

根据上述资料，则6年每年付3万元的现值为：

P=A(P/A,i,n)=3 ×(P/A,6%,6)=3 ×4.9173=14.7519（万元）

如果一次性支付，则总额为20万元（100×2000）。两者进行比较，很显然，分期付款比较合算。

案例四：

李先生准备将自己的孩子送到寄宿学校，以锻炼孩子的独立性，同时也可在事业上给自己多一些时间。他得知本市有一家有名的民办学校，其九年义务教育的学费如表1-1所示。

问题：

李先生现在想存一笔钱，能保证孩子以后的教育费用。假设银行一年存款利率为2%，问李先生现在需要存多少钱？

案例分析：

要想回答这个问题，只要把以后各年将要支付的现金折算为现值就可以了，但因为各年的教育收费不同，因此学费支出不是一项年金。对于这种不等额系列支付，只好先将每一笔付款单独计算现值，然后再求出这些现值的和，其计算如表1-2所示。

因此，李先生要准备30.27万元，才能保证孩子的后续教育。

案例五：

资料l：W公司总经理林盛曾预测其女儿（目前正读高中一年级）三年后能够顺利考上北京大学计算机专业，届时需要一笔学费，预计为3万元，他问会计张红：如果按目前存款年利率4%给女儿存上一笔钱，以备上大学之需，那么现在要一次存入多少钱？

资料2：W公司四年后将有一笔贷款到期，需一次性偿还2000万元，为此W公司拟设置偿债基金，银行存款年利率为6%。

资料3：W公司有一个产品开发项目，需一次性投入资金1000万元，该公司目前的投资收益率水平为15%，拟开发项目的建设期为2个月，当年投产，当年见效益，产品生命周期预计为10年。

资料4：W公司拟购买一台柴油机，用以更新目前的汽油机。柴油机价格较汽油机高出4000元，但每年可节约燃料费用1000元。

问题：

（1）根据资料1，计算单利现值。如果银行存款按复利计息，计算复利现值。

（2）根据资料2，计算W公司每年年末应存入的偿债基金数额。

（3）根据资料3，分析该产品开发项目平均每年至少创造多少收益时经济上才可行。

（4）根据资料4，当W公司必要收益率要求为10%时，柴油机应至少使用多少年对企业而言才有利。

（5）根据资料4，假设该柴油机最多能使用5年，则必要收益率应达到多少时对企业而言才有利。

案例分析：

（l）单利现值：F=P ×(1+ni)

3=P ×(1+3 ×4%)⇒P=2.67857（万元）

复利现值：F=P×(1+i)n

3=P ×(1+4%)3⇒P=F ×(P/F,4%,3)=3 ×0.8890=2.667（万元）

（4）4000=1000 ×(P/A,10%,n)，即4=(P/A,10%,n)

当n=5时，(P/A,10%,5)=3.791

当n=6时，(P/A,10%,6)=4.355

采用内差法：

n=5.37

（5）4000=1000 ×(P/A,i,5)，即4=(P/A,i,5)

当i=7%时，(P/A,7%,5)=4.100

当i=8%时，(P/A,8%,5)=3.993

采用内差法

i=0.07934=7.93%

案例六：

周教授是中国科学院院士，一日接到一家上市公司的邀请函，邀请他担任公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件有如下几点。

（1）每个月来公司指导工作一天。

（2）每年聘金10万元。

（3）提供公司所在该市住房一套，价值80万元。

（4）在公司至少工作5年。

周教授对上述工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定接受这份工作。但他不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，因此，他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了周教授的请求，决定可以每年年初给周教授20万元住房补贴。

收到公司的通知后，周教授又犹豫起来。如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元，而若接受住房补贴，则可于每年年初获得20万元。

问题：

（1）假设每年存款利率为2%，则周教授应如何选择呢？

（2）如果周教授本身是一个企业的业主，其企业的投资回报率为32%，则周教授又应如何选择呢？

案例分析：

（1）要解决上述问题，主要是要比较周教授每年收到20万元的现值与一次售房76万元的大小问题。由于住房补贴于每年年初发放，因此对周教授来说是一个先付年金。其现值计算如下：

从这一点来说，周教授应该接受住房补贴。

（2）在投资回报率为32%的条件下，每年20万元的住房补贴现值为：

很显然，在这种情况下，周教授应接受住房。

案例七：

凯悦集团是一家专门从事机械产品研发与生产的企业集团。2010年3月，该集团拟扩展业务，欲投资6000万元用于研制生产某种型号的机床。集团有以下两套方案。

方案一：设立甲、乙、丙3个独立核算的子公司，彼此间存在购销关系。甲生产的产品可作为乙的原材料，而乙生产的产品则全部提供给丙。经调查预算，甲提供的原材料市场价格每单位10000元（此处一单位指生产一件最终产品所需原材料数额），乙以每件15000元提供给丙，丙以20000元的价格向市场销售。预计甲为乙生产的每单位原材料会涉及850元进项税额，并预计年销售量为1000件（以上价格均不含税）。

方案二：设立一个综合性公司，设甲、乙、丙3个部门。其他资料和方案一一致。

该集团增值税按17%计提。

问题：

根据上述资料确定应选择哪套方案？

案例分析：

方案一：

甲每年应纳增值税额为：

10000×1000×17%-850×1000=850000（元）

乙每年应纳增值税额为：

15000×1000×17%-10000×1000×17%=850000（元）

丙每年应纳增值税额为：

20000×1000×17%-15000×1000×17%=850000（元）

由此，在方案一下，每年应纳增值税额是：

850000×3=2550000（元）

方案二：

基于上述市场调查，可求出该企业大致每年应纳增值税为：20000×1000×17%-850×1000=2550000（元），其数额和上套方案一样，其实虽然看似效果一样，但因为货币存在时间价值，所以，凯悦集团应选择方案二。由于在方案一中，甲生产的原材料，在一定时间内会出售给乙，这时要缴纳一定数量的增值税和企业所得税，而采取方案二，则这笔业务由甲部门转向乙部门时，不用缴纳企业所得税和增值税，当然这笔款尽管最终要缴，而且数额也不会变小，但是根据货币时间价值原理，今天的一元钱比明天的一元钱更值钱，所以这部分迟缴的税款的价值实际上小于早缴的税款，而且推迟了纳税时间，这相对于资金较紧张的企业而言意义就不同了。

为了说明这个问题，这里假定两种情况：第一种是每年缴纳100元税款，缴3年，年利率是10%；第二种是在第三年一次性缴纳300元。按第一种情况，相当于第三年一次性缴纳：100×(1+10%)+100×(1+10%)+100×(1+10%)=330（元），显然比300元多。由此可见，当然是第三年一次性缴纳好。同理，凯悦集团在考虑了货币时间价值后，当然会选择方案二。

案例八：

孙女士在邻近的城市中，看到一种品牌的火锅餐馆生意很火暴。她也想在自己所在的县城开一个火锅餐馆，于是找到业内人士进行咨询。花了很多时间，她终于联系到了火锅餐馆的中国总部，总部工作人员告诉她，如果她要加入火锅餐馆的经营队伍，必须一次性支付50万元，并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业。孙女士提出现在没有这么多现金，可否分次支付，得到的答复是如果分次支付，则必须从开业那年起，每年年初支付20万元，付3年。三年中如果有一年没有按期付款，则总部将停止专营权。

问题：

假设孙女士现在身无分文，需要到银行贷款开业，而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划，她可以获得年利率为5%的贷款扶植，请问孙女士现在应该一次支付还是分次支付呢？

案例分析：

对孙女士来说，如果一次支付，则相当于付现值50万元；若分次支付，则相当于一个3年的先付年金，孙女士应该把这个先付年金折算为3年后的终值，再与50万元的3年终值进行比较，然后才能发现哪个方案更有利。

如果分次支付，则其3年终值为：

如果一次支付，则其3年终值为：

相比之下，一次支付更合适。

案例九：

归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各10000元。奖学金的基金保存在县中国银行支行。

问题：

银行一年的定期存款利率为2%。问吴先生至少要投资多少钱作为奖励基金？

案例分析：

根据上述资料，奖学金的性质是一项永续年金。此案例考察的是每年拿出20000元（文、理科状元各10000元）作为奖励，其现值应为多少的问题。

其现值应为：

P=A ÷ i=20000 ÷ 2%=1000000（元）

也就是说，吴先生要存入1000000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。

案例十：

小陈是位农村男青年，初中毕业后出去打工，一年后学徒期满，成为一名称职的木工。现在，他在外打工，每年收入扣除生活费后，可净得6000元。小陈的家乡比较落后，婚嫁喜事比较麻烦。他估算了一下，一个男青年结一次婚，总共需要花费50000元。

问题：

如果小陈每年打工，存入银行6000元，银行年存款利率为2%，那么小陈还要打工多少年，才能使他到期的存款满足结婚需要？

案例分析：

设需要打工n年，则有：

F=A×(F/A,i,n)

50000=6000 ×(F/A,2%,n)

(F/A,2%,n)=50000÷6000=8.3333

采用试误法，设n=8，则(F/A,2%,8)=8.5830；设n=7，则(F/A,2%,7)=7.4343。

可见，n在7和8之间，根据公式

所以，小陈至少要打工7.5年，才能保证存款满足结婚需要。

案例十一：

张先生要在一个街道十字路口开办一个餐馆，于是找到十字路口的一家小卖部，提出要求承租该小卖部3年。小卖部的业主徐先生因小卖部受附近超市的影响，生意清淡，也愿意清盘让张先生开餐馆，但提出应一次支付3年的使用费30000元。张先生觉得现在一次支付3万元比较困难，因此请求能否缓期支付。徐先生同意3年后支付，但金额为50000元。

问题：

（1）若银行的年贷款利率为5%，则张先生是否应3年后付款？

（2）假定徐先生提议张先生可以3年后一次支付，也可以3年内每年支付12000元，那么张先生应一次付清还是分三次付清呢？

案例分析：

（1）要解决这个问题，可以先算出张先生3年后付款和现在付款金额之间的利息率，再同银行贷款利率比较，若高于贷款利率，则应贷款于现在支付，若低于贷款利率则应3年后支付。

如何计算内含利率呢？设内含利率为i，则有：

30000 ×(1+i)3=50000

(1+i)3=1.6667

设i=18%，则(1+i)3=1.64303；设i=19%，则(1+i)3=1.68519。

因此i在18%和19%之间，取i=18.55%，则(1+i)3=1.6661

从以上计算可知，徐先生3年之间的要价差隐含利率为18.55%，远比银行贷款利率高，因此，张先生应该贷款于现在支付这一笔费用。

（2）要回答这个问题，关键是比较分次付款的隐含利率和银行贷款利率的大小。分次付款，对张先生来说就是一项年金，设其利率为i，则有：

30000=12000 ×(P/A,i,3)

(P/A,i,3)=2.5

采用试误法，当i=10%时，(P/A,i,3)=2.4869；当i=9%时，(P/A,i,3)=2.5313。

因此，可以估计利率在9%和10%之间，大于银行贷款利率，所以张先生应该贷款。

这个问题也可从另一个角度去解释，也就是说，如果张先生用贷款来支付现在的30000元，其未来支付的贷款本利的终值是否超过每年12000元年金的终值。

若现在贷款30000元，则三年后本利和为：

30000×(1+5%)3=30000×1.157625=34728.75（元）

若每年支付12000元，则三年后本利和为：

12000×(F/A,5%,3)=12000×3.1525=37830（元）

显然，年金的终值大于一次支付的终值。从这一点看，张先生应该一次付清而不是分三次付清。

案例十二：

某企业有A、B 两个投资项目，计划投资额均为1000万元，其收益（净现值）概率分布如表1-3所示。

问题：

（1）分别计算A、B两个项目净现值的期望值。

（2）分别计算A、B两个项目期望值的标准离差。

（3）判断A、B两个项目的优劣。

案例分析：

（1）期望值的计算如下：

EA =200 × 0.2+100 × 0.6+50 × 0.2=110（万元）

EB=300 × 0.2+100 × 0.6+(-50)× 0.2=110（万元）

（2）标准离差的计算如下：

（3）两个项目的投资、期望收益相同，但 A项目的标准离差小，其风险也小，故A项目优于B项目。

案例十三：

某公司现有甲、乙两个投资项目可供选择，有关资料如表1-4所示。

问题：

（1）计算甲、乙两个项目的预期收益率、标准差和标准离差率。

（2）比较甲、乙两个项目的风险大小，说明该公司应该选择哪个项目。

（3）假设市场是均衡的，政府短期债券的收益率为4%，计算所选项目的风险价值系数（b）。

案例分析：

（1）甲项目的预期收益率=20%×0.3+16%×0.4+12%×0.3=16%

乙项目的预期收益率=30%×0.3+10%×0.4-10%×0.3=10%

甲项目的标准差=

乙项目的标准差=

甲项目的标准离差率=3.10%÷16%=0.19

乙项目的标准离差率=15.49%÷10%=1.55

（2）由于乙项目的标准离差率大于甲项目，所以，乙项目的风险大于甲项目。同时又由于甲项目的预期收益率高于乙项目，即甲项目的预期收益率高并且风险低，所以，该公司应该选择甲项目。

（3）因为市场是均衡的，所以，必要收益率=预期收益率=16%

无风险收益率=政府短期债券收益率=4%

由上可知：16%=4%+b×0.19

解得：b=0.63

案例十四：

某公司现有甲、乙两个投资项目可供选择，有关资料如表1-5所示。

问题：

（1）计算甲、乙两个项目的预期收益率、标准差和标准离差率。

（2）公司决定对每个投资项目要求的收益率都在8%以上，并要求所有项目的标准离差率不得超过l，那么应该选择哪一个项目？假定关系式：预计收益=Rf +b×V 成立，政府短期债券收益率为4%，计算所选项目的风险价值系数（b）。

（3）假设资本资产定价模型成立，证券市场平均收益率为12%，政府短期债券收益率为4%，市场组合的标准差为6%，分别计算两项目的系数β。

案例分析：

（1）甲项目的预期收益率=0.2×30%+0.4×15%+0.4×(-5%)=10%

乙项目的预期收益率=0.2×25%+0.4×10%+0.4×5%=11%

甲项目的标准差= (30%-10%)2 × 0.2+(15%-10%)2 × 0.4+(-5%-10%)2 × 0.4=13.41%

乙项目的标准差= (25%-11%)2 × 0.2+(10%-11%)2 × 0.4+(5%-11%)2 × 0.4=7.35%

甲项目的标准离差率=13.41%÷l0%=1.34

乙项目的标准离差率=7.35%÷11%=0.67

（2）两个项目的预期收益率均超过必要收益率8%，但由于甲项目的标准离差率大于1，所以应该选择乙项目。

从（1）中的计算可知，乙项目的预期收益率=11%=4%+b×0.67，则b=(11%-4%)÷0.67=10.45%=0.1045。

（3）计算甲、乙两项目的系数β。

由资本资产定价模型知：甲项目的预期收益率=4%+β甲×（12%-4%）。

从（1）中的计算可知：10%=4%+β甲× 8%，则β甲=0.75。

同理，可计算出乙项目的系数β，即：11%=4%+β乙×（12%-4%），则β乙=0.875。

案例十五：

林特公司持有由甲、乙、丙三种股票构成的证券组合，它们的系数β分别是2.0、1.0和0.5，其在证券组合中所占的比重分别为60%、30%和10%，股票市场报酬率为14%，无风险报酬率为10%。

问题：

试确定这种证券组合的风险报酬率。

案例分析：

（1）证券组合的系数β计算如下：

βp =∑xiβi=60% × 2.0+30% × 1.0+10% × 0.5=1.55

（2）该证券组合的风险报酬率计算如下：

Rp=βp(Km-Rf)=1.55 ×(14%-10%)=6.2%

从以上计算可以看出，调整各种证券在证券组合中的比重可改变证券组合的风险、风险报酬率和风险报酬额。