2.1 光波在各向同性介质边界上的反射和折射[2],[6],[8],[11],[13],[18]

光波在两种介质界面的折射、反射实质都属于边值问题。假设两种媒质都为介质，在界面处的自由电荷密度和传导电流密度均为零，则边界条件可写为

n12是界面法向的单位矢量，方向由1指向2，1和2分别表示第一种介质和第二种介质。不失普遍性，下面仅讨论单色平面光波在两种各向同性介质界面的反射与折射性质，这里假设两介质界面为无限大平面。单色平面光波不仅是最简单的一类光波，也是最有代表性的一类光波;这是因为一般的光波都可以分解为一系列单色平面光波的叠加。可以证明对单色平面光波，上面四个条件只有两个是独立的[6],[18]。求解光波的传播问题实质上就是求解在一定边界条件下的麦克斯韦方程组，在数学上就是求解一组微分方程，一般不是一件很容易处理的事，通常无常法可循，常常凭经验猜出试解，再将试解代入麦克斯韦方程和边界条件中，确定待定参数，从而获得问题的解。

当单色平面光波入射到两介质界面上时，将在界面处产生反射光和折射光（或透射光），其中反射光返回到第一种介质中传播，而折射光则在第二种介质中传播。这两种光波的存在性可以由边界条件加以证明，不难看出，如果假定没有反射和折射两种光波，则边界条件就不能成立[2]。进一步再假设反射光波和折射光也是单色平面光波（幸运的是，无论是理论还是实验都证明这种假定是正确的）。

设入射光、反射光和折射光的波矢分别为k1、k1'和k2，圆频率分别为ω1、ω1'和ω2，则这三种光的电矢量可写为

显然，这三种光波在介质1和2中都是麦克斯韦方程组的解。剩下的问题就是这组解必须满足边界条件。一旦边界条件也得到满足，则根据电磁场理论中的唯一性定理，即在一定边界条件下麦克斯韦方程的解是唯一的，这组解便是所求边值问题的唯一解。这样反射光和折射光便被唯一地确定下来。下面由边界条件来确定反射光和折射光的有关参数，如频率、波矢等。

2.1.1 光在介质界面反射与折射时的频率不变性

根据边界条件，并考虑本构关系得

在界面处介质1一侧的电场E1包括入射光的电场Ei与反射光的电场Er，即E1=Ei+Er，而在介质2一侧的电场E2仅是折射光的电场Et，即E2=Et。将E1=Ei+Er，E2=Et代入式（2.1-5）可得

将式（2.1-2）、式（2.1-3）与式（2.1-4）代入式（2.1-6）可得

即

上式在任意时刻均成立，而左侧不含时间，故右侧也须与时间无关，于是有

这说明折射光和反射光的频率与入射光的频率相同。

2.1.2 折射光和反射光的共面性

根据上面讨论，光波在界面反射和折射过程中频率不变，即

ω2==ω1=ω

因此由式（2.1-8）可得

不妨以yz平面为入射面（即通过入射光波矢与界面法线的平面），如图2.1-1所示，显然有k1x=0。设两介质的交界面在z=0处，故上式化为

该式对界面上的任意点都成立，则在y=0处有

上式对任意x都成立，所以

这说明入射光、反射光、折射光与界面的法线共面。

2.1.3 反射定律和斯内尔折射定律

将式（2.1-13）代入式（2.1-11）得

此式对所有y都成立，所以有

上式说明波矢平行于界面的分量都相等，即

式中，θ1、、θ2分别为入射角、反射角、折射角，如图2.1-1所示。由于入射光和反射光都在同一种介质中，因此。由式（2.1-16），可得

式中和θ1都在90°以内，故有

上式所表达的就是反射定律，即反射角等于入射角。考虑到ω1=ω2，对式（2.1-17）两边同乘以c/ω1，可得

由麦克斯韦关系式

可得

这就是光的斯内尔折射定律。