课题一 基础训练

项目1 几何作图

思考题：

画展开图有哪些基本方法？在实际工作中哪种展开图作法应用最广泛，试举两例。

物体（截体）表面可分为平面和曲面两种，而曲面又有可展曲面和不可展曲面之分；所谓可展与不可展，直观地说，如果一个截体的表面能够不遗漏、不重叠、不折皱地全面铺平在同一个平面上，那么这个截体表面是可展的，否则就是不可展的。例如，圆球、圆环和螺旋面等都是不可展表面。但是，如果我们把不可展表面分割成许多小块，每一小块看做只在一个方向弯曲，而在另一个方向近似看做直线，这样也可以作近似展开。

画展开图的基本方法有以下三种。

1.平行线法

平行线法适用于形体表面有平行素线的圆柱体和有平行棱线的棱柱体等。

2.放射线法

放射线法适用于各种锥体的表面展开。锥面的展开图上，都有集束的素线。

3.三角形法

三角形法能对各种形体进行表面展开（或近似展开），一般在无法使用上述两种方法进行展开的情况下，才使用三角形法，如不规则的曲面展开等。

项目训练一：用平行线法作展开图

用平行线作展开图的方法，称为平行线法。实际上就是把构件表面分成若干平行部分在平面上展开。

1.正圆管的展开

薄板正圆管的展开如图1-1-1所示。展开图是一个矩形，矩形的长边是圆口的展开线，尺寸等于圆管周长，短边是圆管管体上的一条母线，通称合缝线，它的尺寸是管体高。

正圆管展开面积的计算：

S=L×h

式中 S——正圆管展开面积；

L——正圆管圆周长，L=πd（π为圆周率=3.1416，d为圆管直径）；

H——正圆管高。

2.矩形断面直角弯头展开图

图1-1-2为实物立体图，图1-1-3为用已知尺寸画出的主视图和断面图。

画展开图时，先在主视图底边向右延长线上截取断面里的四边伸长，再过各点向上引垂线与由结合线里各点向右所引水平线对应交点连成直线，即为所求的展开图。

项目训练二：用放射线法作展开图

用一组汇交于一点的直线作展开图的方法称为放射线法。实际上就是将构件表面分成若干梯形部分在平面上展开。主要应用于锥体侧表面及其截体的展开等。

一、放射线展开原理

放射线展开法的原理是：可以把锥体表面上任意相邻的两条素线（或棱线）及其所夹的底边线，看成是一个近似的平面三角形。当各小三角形的底边也足够短时，则小三角形面积的和就等于原来形体的表面积。若把所有的小三角形一次铺开成一平面，原来的形体表面也就被展开了。作展开图的关键是确定这些素线（或棱线）的长度和相邻素线（或棱线）间的夹角，或者利用两条素线（或棱线）所夹的底边线实长来确定，通过三角形底边线两点间距离间接达到确定其夹角的目的。

二、应用举例

1.正四棱锥面的展开

如图1-1-4所示为正四棱锥面的立体图、放样图及展开图。在放样图的主、俯视图上，用双点画线表示出各棱线的正面投影和水平投影的延长线，它们分别交于 O、O′的连线于棱锥底垂直线，这说明该四条棱线 A1、B2、C3、D4同交于 O 点。此四棱锥面的上、下面互相平行于H面。可将锥面看成为由大的四棱面O-1234去掉上部的小四棱锥面O-ABCD而形成。绘制其展开图，需要求出各棱线和上下面各边实长。因为该形体形状是前后和左右对称，四条棱线的长度相等，所以只求出其中一条棱线的实长即可。而上下面都平行于H面，其各边的水平投影均反映实长。上下面各顶点 ABCD和1234分别在四条棱线 O1、O2、O3、O4上，其作图步骤如下：

（1）用旋转法求 O1的实长，以及A点在实长上的位置。以 O 为圆心，O1为半径画弧，将 O1旋转至水平位置 Oe，过e 点向上作铅垂线与正投影 4′1′延长交于e′，连接o′e′，则o′e′是Ol的实长。延长d′a′交o′e′于f ′，则Of ′是OA的实长。

（2）以O点为锥顶，在适当位置画射线O1作为展开图的起始点。

（3）以O点为圆心，o′e′为半径画弧；交o′1于1点，再以1点为圆心，以12为半径画弧与圆O交于2点，用直线连接12点，得O12面的展开图，再以2点为起始点，用同样的方法用水平投影23的长为半径画弧，交于3点，得到O23的展开图。同理依次作出O34与O41两棱面的实形展开图。

（4）作上面各边在展开图的位置，以 O 为圆心，Of ′为半径画弧，分别与 O1、O2、O3、O4相交于A、B、C、D各点，再依次用直线连接相邻两点，即得到四棱锥面的展开图。

2. 作正圆锥面的展开图

图1-5所示正圆锥面放样图的主俯视图及展开图。从图中可以看出，要想将此图展开必须先将圆锥水平投影任意等分，一般作12等分，得等分点 1，2，3，…，12即可，并通过这些等分点作正投影的垂线——即这些点的正投影 1，2，3，…，7即可。用直线将这些点与锥顶相连，得到半边的七条素线（实际上所谓十二条素线正投影背面是看不见的，即便想画也是与正面素线重合的）。将这些素线看做是棱面，用该棱锥面代替圆锥而绘制其展开图。

其作图步骤如下：

（1）等分圆周。将圆周面水平投影圆12等分，分别得等分点 1～12点。画出这些等分点的正投影1′，2′，3′，…，12′，分别连接O′1′，O′2′，O′3′，…，O′12′为圆锥面的素线。

（2）以锥顶正投影O′为圆心，以反映实长的素线投影O′1′为半径画圆弧，在圆弧上适当位置取一点1″为起点，依次用水平投影上一个等分弦长如12的长度在圆弧上截取12段，得到 1″，2″，3″，…，13点实为1″），把13个等分点连起来的扇形即为正圆锥面的展开图。

上述作图过程中用等分圆周的一个等分弦长代替弧长，得到的展开图是一个近似展开图，有一定的误差。适当增加等分数，即等分数越多，越接近实形，就可以使其误差保持在工程允许的精度范围内。也可利用圆锥面投影与展开图间的关系，计算出扇形的中心角α，然后作图，这样可将误差消除。

3. 斜截圆锥锥面的展开

图1-1-6所示为斜截圆锥锥面的立体图、放射图及展开图。由图可知，此构件由圆锥面斜向截去顶部，斜截面为椭圆，作展开图时应求出锥顶至斜截面素线的长度。

其作图步骤如下：

（1）将圆锥面的水平投影12等分，并作等分素线的水平投影与正面投影，等分素线的正投影与截平面对应相交于a′，b′，c′，d′，…，12点。

（2）用圆锥面展开的方法画出圆锥面的展开图。画出扇形后，将中心角12等分，在展开图上画出各等分素线。

（3）用旋转法求素线至截平面交点的实长，过交点 a′、b′、c′、d′、e′、f′、g′点作轴线的垂直线段，与轮廓线O′7′相交的交点至O′的长为所求各素线实长。

（4）分别在各等分素线 O′1′、O′2′、O′3′…依次截取 OA、OB、OC…令它们分别等于相应素线的实长，得A、B、C…各点，并用同样的方法画出另一半对称点，再用光滑曲线将这些点连接，即得到上口倾斜的圆锥面展开图。

三、放射线展开法小结

放射线展开法是很重要的一种展开方法。它运用于所有锥体及锥截管件或构件的侧面展开，尽管锥体表面各种各样，但展开方法却大同小异，作法可归纳如下：

（1）在两视图中（或只在某一视图中）通过延长投影边等手段完成整个锥体的放样图。

（2）通过等分断面周长（或任意分割断面全长）的方法，作出各分点所对应的断面素线（包括棱锥侧棱以及侧面上过锥顶点的直线），将锥面分割成若干小三角形。

（3）应用求实长的方法（常用旋转法、直角三角形法），把所有不反映实长的素线，与作展开图有关的直线的实长一一不漏地计算出来。

（4）以实长为准，利用交轨法（正锥体可用扇形法）作出整个锥体侧面的展开图，同时作出全部放射线。

（5）在整个锥体侧面展开图的基础上，以放射线为骨架，以有关实长为基准，再画出锥体被截切部分所在曲线的展开曲线，完成全部展开图。