2.2 轴力与轴力图

本节讲述如何根据力的平衡原理，利用1.3节介绍的截面法，由外力确定轴向拉压杆件的内力。

如图 2-4（a）所示，一直杆承受载荷F作用。以下根据1.3 节介绍的截面法的思想和步骤，求任一横截面 m-m 上的内力。

1） 沿横截面m-m假想将杆件截成两部分Ⅰ、Ⅱ，如图2-4（b）、（c）所示。

2） 分析图示内力。由图2-4（b）或（c）易知，为了满足平衡条件，横截面m-m上的分布内力应合成为一过横截面形心且与该横截面垂直的合力，称为轴力（axial force），用FN表示。可见，轴向拉压杆件的内力为一轴力，可以为拉力或压力。

3） 由平衡方程求解轴力。例如，取杆件左半部分为研究对象，受力如图 2-4（b）所示。由平衡方程

∑Fx = 0， F N−F=0

得

F N =F

为了保证同一截面左右两部分杆上的轴力具有相同的符号，我们不能再遵循以往外力的正负号规定，必须制定新的规则。通常规定如下：拉伸时的轴力为正，如图 2-4（b）和（c）所示横截面m-m上的轴力；压缩时的轴力为负，如图2-5所示横截面m-m上的轴力。

当沿杆件轴线作用两个及以上外力时，杆件不同横截面上的轴力不尽相同，于是可将轴力写成横截面位置的函数（称为轴力方程）。若选取一直角坐标系，其平行于轴线的横坐标表示杆件各横截面位置，与轴线垂直的纵坐标表示相应横截面的轴力，则由此得到的图线可形象地表示各横截面轴力沿轴线的变化规律，称为轴力图（axial force diagram）。下面以例题说明轴力图的绘制。

已知变截面直杆ABC受力如例题图2-1（a）所示。试作直杆ABC的轴力图。

分析：该杆件除了在A、B两端有作用力外，还在中间B处有集中外力作用，所以AB和BC段杆的轴力不同，应分别利用截面法求解。

解：应用截面法，在AB和BC段分别用假想的任意截面1-1、2-2将杆件截断，并假设所截开横截面上的轴力均为正，即为拉力，取如例题图2-1（c）、（d）所示的研究对象。

对于例题图2-1（c）所示的研究对象，应用平衡方程：

∑Fx=0， FN1−F=0

得杆AB段任意横截面上的轴力为

F N1=F

同理，对于例题图2-1（d）所示的研究对象，应用平衡方程：

∑Fx=0， FN2+F=0

得杆BC段任意横截面上的轴力为

F N2=−F

根据上述计算结果，在FN-x坐标系中绘制杆ABC的轴力图，如例题图2-1（e）所示。注意，为了突出显示，轴力图线与x坐标轴之间的区域填充以竖线，并标注上正负号。

讨论：

从轴力例题图 2-1（二）（d）不难看出，在中间作用有集中外力的 B 处横截面两侧，轴力有突然的跳跃，间断值恰好等于集中力。该结论具有普遍意义，即凡是集中力（包括集中载荷和约束反力）作用的截面上（包括中间或两端），轴力有跳跃，跳跃值等于集中力。该结论很容易利用截面法证明。以例题图2-1（二）（a）为例，分别用假想的截面m-m和n-n沿B处横截面的左、右两侧将杆截断，取出包含有集中力2F的“一段零长度的杆”为研究对象，如图2-6所示。左右截面m-m和n-n上的轴力分别记为FNm和FNn，由平衡方程很容易得到FNn− FNm = 2F。实际上，所谓的集中力是分布于一个很微小的区域Δx内的分布力的近似结果。所以，若假设在Δx内载荷均匀分布，则例题图2-1（二）（d）中的轴力在B附近将连续地从F变化到−F，如图2-7所示。

考虑载荷沿杆件轴线以任意函数f （x）连续变化的一般情况（典型的例子如竖直放置的杆件受其自身重量的作用），用假想的截面m-m和n-n在距原点x处截取一长为dx的微段杆，如图2-8所示。其上分布载荷形成的合力为f （x）dx，设截面m-m上的轴力为FN（x），则根据微积分原理，截面n-n上的轴力应为FN（x） + dFN。由x方向平衡得FN（x）+dFN+f（x）dx=FN（x），于是有

上式表示了轴力与载荷之间的微分关系，它其实就是轴向拉压杆件内力的平衡微分方程，在材料力学其他形式的变形杆件中也存在类似的关系。由上式可以得到一些有用的结论，例如，若杆的一段内没有载荷作用，则轴力为常数，轴力图为一段平行于x轴的直线；若杆的一段内载荷沿轴线均匀分布，则轴力为线性函数，轴力图为一段斜直线。另外，可以通过对上式积分，并结合前面提到的集中力作用处的轴力变化特征，来直接计算任一截面的轴力。

上述截取杆件微段进行分析的方法在以后其他形式的变形分析中也会经常用到。