诺贝尔奖得主著名的美籍华人科学家李政道博士有一句名言：科学与艺术是不可分割的，就像一枚硬币的两面，谁也离不开谁。他用硬币比喻科学和艺术的关系，非常精辟、简明而蕴意深刻，说明了一个道理，即在绚丽多彩、纷繁复杂的大千世界的人类文明中，科学和艺术融为一体是不可分割的。科学和艺术是构成这个人类世界文明的两大要素，这个世界不能没有科学，没有科学就不能发展，就会落后愚昧；这个世界也不能没有艺术，没有艺术也不能进步，就没有文明，缺少谁这个世界都不会完整。科学与艺术二者虽是各自独立存在与发展的，但二者又有着密切的联系。科学离不开艺术，艺术也离不开科学。科学离开艺术就失去精神上的支持，就难以创新；艺术离开科学，就失去了物质上的基础，就难以发展和前进。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标是真理普遍性。
艺术有许多门类，音乐虽然只是其中之一，但给予人的感受却最为强烈。音乐与科学的关系又甚为密切，所以本章主要阐述音乐与科学之间的联系。
音乐与科学有关系吗？一般人会有这种疑问，音乐与科学是两个不同的范畴，两种不同的概念，两种不同的思维方法，两种不同的表现手段，具有两种不同的功能。音乐是感性的，科学是理性的；音乐是抽象的，科学是具体的；音乐是浪漫的，可以任意驰骋，科学是严格的，不允许“出格”。若说他们有关系，有人难以理解。
伟大的物理学家爱因斯坦常常谈到古典音乐与数学和物理学之间的内在联系。在他看来，艺术和科学的目标以及它们的最重要的功能是共同的或是相通的。这就使人们内心深处激起对存在于自然界中的和谐和不可思议的秩序，产生只可心领神会，不可言传的激情。音符最重要的功能恰如数学公式，它是把握和理解世界的一种方式，是作曲家试图创造合理的世界图像，吐露他们观天察地识人的一种特殊工具。而数学公式的功能又恰如音乐旋律，是解释和描述世界的一种抽象的方式，是数学家用来试图创造合理的世界图像，表达他对社会对自然界的认识和求解未知量的一种特殊工具。爱因斯坦说：“这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成，我们试图创造合理的世界图像，使我们在那里就像感到在家里一样，并且可以获得我们在日常生活中不能达到的安定。”
伟大的作曲家贝多芬也说过：“只有艺术同科学结合在一起，才能把人提升到神明的境界”。
爱因斯坦和贝多芬从科学和音乐的不同方面，表述了宇宙结构和谐的神秘性和艺术与科学的联系性。
科学是人类对客观物质世界的认识，揭示客观物质世界存在的现象、本质、变化和运动的规律。科学包括自然科学和社会科学两大范畴，自然科学是研究对自然界的物质的认识和发展规律，它所研究的对象是运动着的物质、物体；社会科学是研究人类群体活动的现象和规律，它研究的对象是社会现象，也即人们的交互作用及其关系。科学进行理性思维，探索求得客观事物及其关系的真实性，是对事物进行观察、实验、分析、逻辑推断的结果。这种探索是一个无止境的过程，是一种人的有限的认识能力去探索无限的客观存在和客观规律的过程，也是后人对前人的认识不断地修正、补充，甚至是推翻重新建立的过程，所以科学就是求“真”，它具有唯一性、逻辑性、实证性和一元性。
音乐是一种情感艺术，它是用乐音组成表达情感的艺术系统。音乐中蕴含着人类的情感精神、道德情操、心灵美德，反映出人类的精神世界和精神面貌。音乐是作曲家的创作，是作曲家观天察地识人的感受，也是作曲家的心灵独白和与人的内心交流。音乐又是演奏家（演唱家）的再创作。演奏家根据他对音乐作品的理解，来表达出作曲家的心灵和感情，感染于听众，使听众得以愉悦欢乐陶冶情操，净化心灵。音乐的对象是人，是人的精神世界，所以音乐是求“善”，它具有多种选择，非一元性的，它要引导人们追求美，欣赏美，感受美，创造美，并进一步引导人们思考人生的目的、意义和价值，发展人性，完善人格，提高人的文化艺术修养、文化品格和道德修养。
科学与音乐两者的研究对象和性质迥然不同，但二者之间是相通的，是相互依存的。科学为人类提供物质财富，创造物质文明，引导人类走出蒙昧，开辟了人类活动的空间；音乐为人类提供精神财富，为人类创造和谐自由的活动空间，启迪着人类的智慧。科学为音乐的发展创造物质基础，音乐为科学的发展创造美好的环境。科学和音乐都是为了构造一个美好的合理的和谐的世界，都为真理而奋斗。为此，它们都不遗余力的用智慧和精神进行创造，创造是科学和音乐的共同特征。人类通过科学和音乐达到一种高尚的境界，同时通过科学与音乐中所蕴含的情感和精神塑造一个高尚的人。
第一节 音乐与数学——自古数律相伴生
早在几千年前，古代的先哲们就洞悉和探索音乐与数学间的奥秘。
人类文化史上最早将音乐与哲学、数学结合起来思考的先驱者之一，是古希腊的哲学家、数学家、音乐家毕达哥拉斯（Pythago-ras，约公元前580—前500年）。传说他大概于公元前572年生于爱琴海上的萨摩斯岛，曾旅居埃及，并到各地漫游，约于公元前530年定居于意大利南部的克罗托城，在那里建立了著名的毕达哥拉斯学园。这个团体研究哲学、数学和自然科学，并且发展成为一个宗教性组织，有门徒多人，后人称之为毕达哥拉斯学派。由于南意大利民主势力摧毁了学园的设施，迫使这个团体解散，毕达哥拉斯逃到了海塔蓬图姆，并终于此地，享年75岁。
毕达哥拉斯有一句名言，即“万物皆数”。他和他的学派以其朴素的唯物主义的宇宙观提出：“宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐的体系”，进而把“1”描绘成产生万物的完美和谐的境界。毕达哥拉斯从数的和谐探讨了音乐的本质，提出了“音乐是对立因素的和谐统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调”（波里克勒特《论法规》），在这里，和谐的音乐是建立在乐音运动与结构和谐的基础之上的。他认为音乐的和谐是由于“数”的原因才得以实现，没有数也就失去了音乐艺术存在的价值。毕达哥拉斯发现音乐与数间的联系，有这样一个故事。
据说毕达哥拉斯外出散步时，路过一家铁匠铺，听到里面的丁丁当当的打铁声，比别家的铁匠铺更加协调和悦耳，他对此发生了兴趣。于是走进铺子，测量了铁锤和铁砧的大小，并把其中4个铁锤称了一下，它们的重量分别是6磅、8磅、9磅、12磅。这4个数对应的比例是12：6=2：1，12：8=3：2=9：6，12：9=4：3=8：6.这正好是各自相当于八度音程、五度音程、四度音程和全音程振动频率的数学比例。当明确了这个关系后，他再听铁锤轮翻敲击的声音时，果然有一种和谐的音乐美感。后来，他又在琴弦上做实验，进一步发现产生各种谐音的弦的长度都成整数比。例如，两根张拉得同样紧的弦，当它们的长度比为2：1时，就会产生相差八度的谐音；而两根张拉得同样紧的弦，当它们的长度比为3：2时，短弦发出的音比长弦发出的音高五度；若三根同样紧的弦，其长度比为3：4：6时，就能得到和声的谐音。他以数学讲音程，用弦长的比例来计算音程的度数，提出一条弦的1/2为八度，2/3为五度，3/4为四度等。毕达哥拉斯及其学派发现的这种音的现象认为是一种数的关系，音乐反映了主宰宇宙的数的本质，从而推论世界上的万物均可由数的关系来解释。
毕达哥拉斯通过产生音乐的物体（发音体）表现出音乐与数的关系，从而推论出音程之间的数学比例。在这个基础上，他又发现了“五度相生法”，构成了著名的毕达哥拉斯音列。该音列中所有的音都由纯五度音程的关系连续依次推演而出。所产生的律制也称“五度相生律”。在这种律制中，全音阶的音是由一系列5个连续的高五度音程和一个低五度音程得来。
以c为基础，向下低五度音为F，两根张拉得同样紧的弦其长度为2/3时，若短弦为c音，长弦则为F音；向上高五度音为g，两根张拉得同样紧的弦，其长度比为3/2时，若长弦为c音，短弦则为g音。
把这些音按一个单独的八度音程从c到c1（比c高八度）排列，就构成下列音阶。
毕达哥拉斯的“五度相生法”奠定了西方古代音乐理论的基础。
毕达哥拉斯的理论对希腊音乐哲学来说是最重要的贡献，并且持续发展，影响了西方音乐传统的整个历程。
柏拉图（Plato，公元前427年—前347年）在其《文艺对话录》中，认为音乐是数的艺术，音乐的美是各种数学比例关系的美。柏拉图从美学角度论述音乐与数的关系。
中世纪的音乐美学研究学者奥古斯丁（Augustine，公元354—430年）、托马斯（Thomas，公元1226—1274年）继承了古代先人的音乐观点，形成了具有这个时代的音乐美学学说，认为音乐美归结为“数”这个因素。奥古斯丁的《论音乐》中提出了著名的音乐定义“是适当转调的科学”。他把音乐看作为“科学”。他认为音乐知识实际上是学问的一种分支——“科学”。这里所谓的转调是音乐旋律的运动，从一个主音转到另一个主音。
中世纪传播古希腊音乐的倡导者波爱修（Boethius，公元480—524年）是一位政治家、哲学家、数学家、思想家、音乐家，他多次强调音乐是一门数的科学，数学的比例关系决定了音程关系。他在《音乐的体制》一书中强调音乐是一种认识、规律、法则、原理的理性活动。在此基础上，他将音乐分为：宇宙音乐、人类音乐、乐器音乐，都是追求和谐的目的。波爱修是一个“坚持肯定古代音乐家们智慧的最有学问的人”。
卡西奥多尔在他的《论体制》一书中有完整的一章是有关音乐的，他忠实地保留了毕达哥拉斯学派的传统学说，他说“音乐科学是处理数的学科，这些数同那些在声音中所发现的事物（如二倍的、三倍的、四倍的）之间存在着一定的关系”。
中世纪时期的一些哲学家跟随波爱修和毕达哥拉斯的脚步，把音乐作为一门科学，排列于其他科学之中。
哲学
伦理学 物理学 逻辑学
算术、音乐、几何学、天文学、占星学、机械学、医学
16世纪的朱塞佩·扎尔林诺（Gioseffo Zarline，1517年—？）开始了关于和声的数学和物理的探索。在某种程度上他继续着古代毕达哥拉斯传统所指定的方向。他提出了三和弦的构成方法，把这个方法命名为“算术的分割”。他对和声的一个基本出发点是把音乐世界压缩到理性和数学的形式，以相应的对自然世界的理性概念和解释为基础，从而产生了一种新的对音乐的认识。
作为科学家、数学家的笛卡儿，曾探索过声音的物理本质。他在1618年所写的《音乐概要》论文中，描述了音乐在人类头脑中的影响。他的主要目的是试图解释音乐对感觉的影响，以及音乐通过感觉影响心灵的物理和哲学机制。他假设“音乐的目的是娱乐我们，并且唤醒我们的不同情感”，相信“物理学家的任务是从声音所赖以产生的物体（发音体）那里探寻声音的本质，了解在什么条件下被发现是最为快乐的”。作为一个科学家，他以这些方针探索声音的本质。他发现每一个音程对于感觉以及头脑来说，都有一种特定的影响，这种影响涵盖了从简单的娱乐和愉悦到最复杂精细的情感和情绪。笛卡儿的立场是非常严格的数学和科学的立场。
德国的数学家、哲学家莱布尼兹把音乐概念定义为宇宙和谐，认为和谐就是宇宙的数学秩序。他提出，音乐是一种方式，将数的精确和谐传递给人的感官。
数学是从数开始并发展起来的，音乐的律也是由数产生的，音乐的声音和谐又是数的比例关系。音乐与数的密切关系不仅反映在西方古代科学家哲学家的认识中，也反映在中国古代先哲的认识中。
在东方古代的中国有“律以隔八相生”的方法，还有与毕氏“五度相生法”的数学基本原理脉络相通的“三分损益法”，都是我国古代采用数学运算求律的方法。
中国的易学家们认为数起源于《河图》。《河图》是由“点”组成的方阵图，或称数图。在河图中数点的排列是有序的，《河图》向人们阐释了数的起源和数的生成奥秘，“一与六共宗居北，二与七为朋居南，三与八同道居东，四与九为友居西，五与十相守居中”，每组后面的一个数都是由前面的一个数加5以后而成，所以两数同位而居。
在《河图》中，“五”是一个基本计数单位，居于图的正中，五以上的数皆由五演变而来。而中国音乐的“五音”——宫、商、角、徵、羽，有高度（频率）、大小（律数）和顺序（排列顺序和生成顺序）。“五音”中的音与《河图》中的数，有着密切的关系。明郑世子朱载癱（1536—1610年）所作的《瑟谱》文中说“一曰水，音为羽。天一生水，地六成之，一六其数最少，而音最清。二曰火，音为徵。地二生火，天七成之，二七其数渐增，而音渐浊。三曰木，音为角。天三生木，地八成之，三八其数加增，两音加浊。四曰金，音为商。地四生金，天九成之，四九其数益增，而音益浊。五曰土，音为宫。天五生土，地十成之，五十其数最多，而音最浊。”。
现将《河图》的数列从大到小排列，把五音各自的律数也从大到小排列，则得数和音的相应关系。
五（十）四（九）三（八）二（七）一（六）
宫 商 角 徵 羽
古人有“律以隔八相生”的说法，即由此律至彼律相隔七个数。将《河图》中的数，顺向而数，正符合这一规律。五至二隔八，黄钟宫生林钟徵；二至九隔八，林钟徵生太簇商；九至六隔八，太簇商生南吕羽；六至三隔八，南吕羽生姑洗角；三至十隔八，姑洗角生应钟变宫；十至七隔八，应钟变宫生蕤宾变徵。图三为《河图》五音顺序相生图，隔八相生而形成的五音顺序为宫—徵—商—羽—角。
《河图》中的各数进行某种数学运算时，数理则发生变化，数变则五音也随之生变，上述所说的黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟、蕤宾等皆为我国古代的律名，各律有严格的顺序。
“三分损益法”是把一个振动体（弦或管），在长度上均分为三段，舍其1/3，取其2/3，称为“三分损一”。同样均分三段，加其1/3，成为4/3，称为“三分益一”。由此产生的不同长度所发生的不同振动频率相应而成的各律，就称为“三分损益法”，由此严格生律的律制，就叫“三分损益律”。
“三分损益法”是公元前8至7世纪春秋时期齐国相管仲所著的《管子·地员篇》中的一文。三分损益法是按振动物体长度来进行计算的。其方法是：先以一条空弦为基础，将其长度三等分，“三分益一”即增加其长度的1/3，求得其下方的纯四度音，再“三分损一”即减去次弦长度的1/3，可生得次一律上方的纯五度音。如此生律4次，律出五音——徵、羽、宫、商、角，相对应的音为sol，la，do，re，mi。五音相生的次序如下，先以宫音（do）为基础，三分益一而得徵（sol）；再在徵的基础上，三分损一而得商（re）。又以商为基础，三分益一而得羽（la），最后以羽为基础，三分损一而得角（mi）。由宫得徵是低纯四度，由徵得商是高纯五度，由商得羽是低纯四度，由羽得角是高纯五度。“三分损益法”所得的五音顺序与河图隔八相生形成的五音顺序是一致的。
毕达哥拉斯的“五度相生法”生律和古代中国的“三分损益法”生律，都表示了音和数的关系，音律具有一定比例数。
17世纪中叶，在西方形成了“十二平均律”的理论。十二平均律的制律方法，是将一个八度音程平均分为十二个距离相等的半音，其中每个全音都包含两个半音。钢琴键盘从中央C（小字组的c）到高八度的小字一组c1中间有7个白键，C、D、E、F、G、A、B和5个黑键C#或Db、D#或Eb、F#或Gb、G#或Ab、A#或Bb，CD、DE、FG、GA、AB皆为全音，EF、BC为半音，全音皆包含两个半音，CD全音包含C#C和DbD两个半音，DE全音包含D#D和EbE两个半音。其余类推，这十二个音相邻两音之间音程距离相等，也即各相邻两律之间的频比相等。
需要说明的是，过去人们往往习惯如果比C高半个音，就应该表示为“#C”，这实际是中国式的英语表达方式，是不确切的。因为英文中“升C”与“降A”的表示法是“Csharp”和“Aflat”，所以如不用“升”或“降”的中文而只用符号表示升或降半音，应该表示成“C#”或“Ab”。
这种律制又叫做等比律。其计算方法是：一个八度音程，高音频律为基础音振动频率的2倍，将这个2连续开十二次方。
1.05946即为任何相邻半音的两音之间的振动频率数之比。
例如：A#频率/A频率=466.16/440.00=1.05946
A频率/Ab频率=440.00/415.30=1.05946
已知A频率求A#频率，即得A#频率=440.00×1.05946=466.16赫兹
已知A频率求Ab频率，即得Ab频率=440.00/1.05946=415.30赫兹
用这个方法可求出半音阶各音的频率和频率比。
以上所述都是比较简单的音乐与数学的关系。
第二节 音乐与物理——物体的振动和音乐声学
声音是人类最早研究的物理现象之一，声学是经典物理学中历史最悠久而当前仍处在前沿的唯一分支学科。世界上最早的声学研究工作以音乐为对象，上节中所述毕达哥拉斯的“五度相生律”，就是最早经声学研究而提出的数律的关系。古今中外，研究发声常用弦和管的发声进行，弦和管都是发出乐音的装置，所以从古至今的乐器大都是弦和管。交响乐团的弦乐器如小提琴、中提琴、大提琴、低音提琴，木管乐器如长笛、双簧管、单簧管、大管，铜管乐器如小号、圆号、长号、大号。所以，声学的发展离不开音乐，由此发展成为声学的一个分支学科，以研究音乐的性质、乐音的产生、传播、接收等问题的科学，称为音乐声学。
音乐的产生，也即音乐的装置产生的音乐振动，如弦乐器产生的弦振动，木管乐器产生的簧片振动，铜管乐器管内产生空气柱振动，打击乐器产生的膜板振动，人歌唱产生的声带振动等等。因此，音乐是由物体的物理振动产生的。
音乐的传播，是声源的音波发射到空气中，通过空气以波的形式传播称为机械波。声波在空气中传播还可能产生声的反射、折射、绕射，吸收和隔声等物理现象。
音乐由人耳接收，声源发出的声波通过空气传播到人们的耳朵，人耳就是声波的接收器。
音乐的声音有高低、强弱、延续时间和音色，这是音乐的四个物理要素。声音的高低用音高表示，音高则用发声物体的振动频率来衡量。按照物理声学的定义，振动频率是发声物体每秒钟振动的次数，振动频率越大音高越高；振动频率越小则音高越低。人的歌声的频率大致为60赫兹（男低音）至2500赫兹（女高音）。钢琴的最低音是27.5赫兹，最高音是4086赫兹。几乎所有的管弦乐器发声的频率，都在钢琴发音的音高范围之内。
在乐器合奏、合唱和乐器制造上，都必须有一个共同的音高标准。音的标准高度在不同时代和不同地区有所不同。1834年法国斯图加特物理学家会议决定，小字一组的a1=440赫兹。1859年法国巴黎音乐家和物理学家会议决定a1=435赫兹。1939年英国伦敦国际会议恢复斯图加特会议的结果，又决定a1=440赫兹，称为“第一国际高度”，这是现在国际上通用的标准音高。钢琴正中间的C键，也就是中央C，称为小字一组的c，用c1表示。比小字一组再高一个八度的音，称为小字二组，分别用c2，d2，e2，……表示。依此类推，还有小字三组、小字四组……。钢琴最高的音可到小字五组的c，即c5.比小字一组低一个八度的音，称为小字组，用不加上标的c、d、e……表示。根据上述标准，比小字一组a1低一个八度的小字组的a，振动频率应该是220赫兹。所以讨论音乐中的绝对音高问题，离不开物理声学的基本知识和物理学家制订的标准。
比小字组再低一个八度的音，称为大字组，分别用C、D、E……表示。比大字组低一个八度的音，称为大字一组，分别用C1、D1、E1……表示。钢琴音域内最低的音，可达大字二组的A1.五线谱高音谱表下加一线上音符的音高，也就是低音谱表上加一线上音符的音高，是小字一组的c，也就是钢琴上中央c的音高，即c2.
音乐的声音除音高外，还有音的强弱，也即音的响度。产生音波振动的作用力愈大，则发生振动物体的振幅越大，音的响度愈大。例如小提琴用弓的力度，管乐器吹奏的力度，打击乐器敲击的力度。
音色是发音体的独特的声音个性，这个声音个性就称为音色。音色与振动方式、发音方法和共鸣体的结构材料有关，小提琴的音色柔和甜美，小号的音色雄壮辉煌，这是因为小提琴是弦振动，小号是空气柱振动。又如钢琴、琵琶和提琴都是弦振动的乐器，其音色也有很大区别。因为钢琴是音槌敲弦发音，琵琶是用手指拨弦发音，提琴是用弓擦弦发音，不同的发音方法造成了音色的差别。此外，发声体的制作所选用的材料、制作工艺、结构形状尺寸等都与音色有关。
音波的振动和振动波通过空气的传播引起了数学家的极大兴趣，数学家在音波振动方面的研究，大大促进了音乐声学的发展，推动了乐器结构的改革，更发展了数学学科，产生了偏微分方程——波动方程。由于数学学科的发展又带动了其他学科的发展，例如带动了波动方程的应用和推广。
数学家首先注意到音波的振动形式。法国数学家傅里叶发现音波呈正弦曲线的形式传播，所有同步的波，无论如何复杂，都由简单的正弦波组成。不同频率的声音，形成不同的波形。不同频率的声音同时奏响时，其不同频率的波相叠加，形成复杂的波。
不同乐器由于其音质不同，奏同一个音，所产生的波形不同。
式中：f——弦的振动频率；
L——弦的长度；
d——弦的直径；
T——弦的张力；
ρ——弦材料的密度；
g——重力加速度。
弦越长越粗、张力越小、密度越大，其振动频率就越低。反之，弦越短、越细、张力越大、密度越小，其振动频率就越高。例如钢琴的高音区弦短而细，则振动频率高，音高则高。
式中：
v——波速；
T——弦的张力；
μ——单位长度弦的质量。
18世纪，数学家把振动弦（琴弦）的位移，分别当作时间的函数以及当作从一个端点到弦与任一点距离的函数，研究并试图了解所有可能的运动，就导致了一个偏微分方程。这一研究又考察了弦发出的声音在空气中的传播，又导出了另一些偏微分方程。在研究了这种声音之后，数学家们处理了各种形状的管、号、铃鼓和其他乐器发出的声音，从而又促进了乐器结构的更加完善化。
偏微分方程第一次真正的成功，是来自对以小提琴弦为典型弦振动问题的研究。
在小提琴一根弦的振动问题上，数学家们展开了一场激烈的争论，这种争论贯穿了18世纪60年代和70年代。参加论战的著名的数学家有：达兰贝尔（J。R。D-Alembert，1717—1783年）、欧拉（Euler，1707—1783年）、贝努里（Bernoulli，1654—1705年）、拉格朗日（La-grange，1736—1783年），最后拉普拉斯（P。S。Laplace，1749—1827年）也卷入了这场辩论。
首先，达兰贝尔于1746年在其发表的《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》一文中，证明了无穷多种与正弦曲线不同的曲线是振动的模式，并首次提出一维波动方程。
1748年，欧拉在《论弦的振动》一文中也提出一维波动方程。他又提出，振动弦的一切可能的运动，无论弦的形状怎样，对于时间都是周期性的。
贝努里在他的论文中则提出，绷紧的乐器弦能够以很多方式，甚至按理论上讲能以无穷多种方式，发生等时振动，……此外，在每一种模式中它发生较高的或较低的音调，当弦振动产生一个单拱时，发生第一个和最自然的模式。然后弦产生最慢的振动，发出它的所有可能的音调中的最低音，对于其他一切音来说这是基音。下一个模式要求弦产生两个拱，位于弦的静止位置的两边，于是振动加快一倍，这时弦发出基音的高八度音。
当弦振动问题的论战还在进行的时候，对乐器的兴趣引起了进一步的研究，不仅有乐器结构的振动方面的问题，还有声音在空气中传播方面的问题，从数学上说，这些问题都牵涉到波动方程的推广。
欧拉在受到一个音乐审美主要问题的推动下，于1762年着手研究粗细可变弦的振动问题。他还考察了粗细分别为m，n，长度分别为a，b的两段弦连接而成的弦的振动，同时还对鼓的振动进行了研究。
欧拉对声音在空气中的传播也进行了大量的研究，分别导出了一维波动方程、二维传播方程和三维波动方程，分别给出了声音在一维空间中的传播解，平面波解、球面波解。研究声波在空气中的传播，只是研究利用空气运动发声的乐器的一个步骤。
管乐器所产生的音波，是管内的空气柱受到激发后产生纵向的振动（与管长方向一致）和横向的振动（与管长垂直）造成的。因为空气是具有弹性的流体物质，所以空气柱的振动以纵向振动为主。
管有开口管与闭口管之分，（a）为闭口管，（b）为开口管。
开口管空气柱的振动波从管的一端（吹嘴）出发，到达管的另一端，被反射回来，当这个反射波恰和下一次振动所引起的波相位完全重合，则形成驻波，向另一端传播，这时振幅加大，获得最高音量，其波长为管长的2倍。
式中：f——频率；
L——管长；
V——音波的波速；
n——为一奇数的整数。
闭口管是一端开口，另一端闭塞的管，闭口管在空气柱振动时，其开口端是波的腹，闭口端的空气是不发生振动的，所以是波的节。
对于闭口管空气柱来说，它的振动需要往返两次，才能使反射波与再次发生的波相重合，其周期为4L/V。
闭口管空气柱的振动频率如式（4）
式中：f——频率；
f=nV/4L（4）
L——管长；
V——音波的波速；
n——为一奇数的整数。
管乐器空气柱振动的特点，管子越长，越粗，则振动频率越低；反之管口越短、越细，则振动频率越高。对同一长度的管来说，开口管的固有频率比闭口管的固有频率高一个八度。
贝努里研究了圆柱形管（风琴管）得出两端封闭的或两端开口的管子与长度减半并一端开口一端封闭的管子有相同的基本模式的结论。并发现风琴管泛音的频率是基音频率奇数倍的定理。他还证明了锥形管的泛音与基音是和谐的。欧拉也研究了圆柱形管和非圆柱形管的旋转面，考察了开口端和闭口端的反射。他们致力于了解长笛、管风琴、双曲面形的、锥形的和圆柱形的各类喇叭、小号、军号和各种管乐器，促使管乐器的结构更趋完善和音色更趋完美。
音乐推进了数学的发展，数学促进了乐器结构的改革和完善。欧拉波动方程的应用十分广泛，波动的发现影响相当深远，这种波动又同音乐不无关系。用数学物理方程表达乐器的频率，是科学研究成果的最高最简洁的体现。然而把自然界的规律用数学物理方程表达出来，音乐又有其不可泯灭的功劳和不可忽视的作用。
第三节 音乐与思维科学——科学家需要想象和灵感
一切科学研究的成果都是人类大脑思维的结果，思维是人类大脑的活动。人类大脑思维包括抽象思维和形象思维，抽象思维具有逻辑推论功能，形象思维具有非逻辑推论功能。人脑的思维运动既包含着思维的逻辑推论功能，又包含着思维的非逻辑推论功能，二者紧密联系又互相作用。
人类大脑除具有这两种思维外，还有一种灵感思维。灵感思维也是人类的一种基本思维形式，同抽象思维和形象思维一样，都属于人脑的高级反映形式。画家需要有灵感才能创作出旷世佳作，唤起人们对美的追求；作曲家需要有灵感才能创作出不朽的乐章，陶冶一代又一代的青年；诗人需要有灵感才能创作出浪漫的、令人回味无穷的、激励人心灵的诗句。从事艺术创作需要有灵感，这是不言而喻的。科学家从事科学创造要不要有灵感？我国著名的科学家钱学森在《关于形象思维问题的一封信》中指出：“凡有创造经验的同志都知道光靠形象思维和抽象思维不能创造，不能突破，要创造要突破得有灵感。”总结古往今来的重大科学发现和技术发明，大都与灵感有关，几乎所有的伟大发现都是从一个虚妄的假说或灵感闪光中得出来的，许多科学家，哲学家往往在一瞬间，由于灵感突然光顾而产生全新的思想理论，全新的发明创造，全新的科学决策。例如，德国化学家凯库勒关于苯分子C6H6环状结构的重大发现，是由于他在梦幻中见到蛇咬自己的尾巴产生了灵感，想象出并最后证明了C6H6的结构式是环状的。灵感、直觉、想象、幻想等都属于非逻辑思维，这种非逻辑思维现象，具有跨越推理程序的不连续的思维活动。任何认识过程，如果离开了具体的非逻辑思维形式，都难以获得创新和突破。
伟大的物理学家爱因斯坦说：“我相信直觉和灵感。”他强调“在科学发明创造过程中，从科学观察和实验到一种新颖见解的脱出之间，‘没有逻辑的桥梁’，必须诉者于直觉和灵感”。
灵感思维是如何发生的？一些研究表明，灵感思维的发生是显意识和潜意识相互通融交互作用的结果，往往发生在潜意识范围内（人类大脑右半球）。潜意识孕育灵感时，除潜意识推论外，还常有显意识参与通融合作。当孕育成熟，即突然沟通，涌现于显意识，成为灵感思维。灵感是在一定的知识和经验的积累的基础上，在外界因素的激发下突然产生的，人们常说的“茅塞顿开”就是灵感孕育成熟的突然结果。
由于灵感有突发性和偶然性的特点，所以灵感需要诱发，诱发灵感则需要有境界和触媒。所谓境界是创造者完全沉浸在所要研究解决的问题里，或是处在“百思”之中，这是孕育灵感的过程。创造者的灵感孕育达到了某种程度后，只要有某一相关信息偶然启迪，顷刻间就可豁然开朗，找到解决问题的思路和方法。例如，钱学森谈科学和艺术时说：“在我对一件工作遇到困难而百思不得其解的时候，往往是蒋英（钱学森夫人，女高音歌唱家）的歌声使我豁然开朗，得到启示”。这就是在思考问题的境界下，他夫人的歌声诱发他灵感的出现，找到了解决问题的答案。
灵感的呈现几乎都必须通过某一偶然事件做“触媒”，刺激大脑，引起相关联想，然后才能闪现。科学发现中的大量事实表明，当科学研究思维活动达到了高潮，问题仍百思不得其解时，“触媒”作为灵感诱发因素是最宝贵的，它直接关系到研究的成功与失败。诱发灵感思维的因素有多种方法，认为“百思不解听音乐”是最好的方法之一。爱因斯坦在进行相对论的研究时说过：“我首先是从直觉发现光学中的运动，而音乐又是产生这种直觉的推动力量。音乐给我带来了新的发现。”
为什么在启迪灵感上音乐有如此大的魔力？
音乐（指高雅音乐）具有激活右脑形象思维的特殊能力。孕育灵感的潜意识主要居于右脑，人类大脑的右半球集中了许多高级功能，如对音乐、绘画的感受能力。右脑几何空间的辨认能力，综合化和整体化的功能等都优越于左脑。因此，用音乐这种声响艺术去调动大脑右半球的创造功能，则会有突出的效果。
交响乐具有丰富的内涵和深奥的哲理。它有比较严格的结构，明显的层次，严密的逻辑，一步一步地发展；而且有思想、有情感，有对事物的洞察和分析；有善与恶、美与丑、爱与恨、生与死的矛盾和斗争，有因果辩证关系。音乐创作依靠灵感，而作曲家创作乐曲时，除灵感外还运用了逻辑推理思维，交响音乐是形象思维和逻辑思维共同作用的产物。音乐演奏表达出来的并为欣赏者所接受的意境，也反映了形象和逻辑的作用。人们在欣赏交响乐时，既有潜意识的联想和幻想，又有显意识的分析和理解。潜意识和显意识交融并相互作用，灵感思维也会涌现于显意识之中。
音乐与科学没有直接关系，从音乐里不能产生物理方程和化学反应式，用音乐也制造不出科技产品，但是音乐对人思维的作用，激活大脑右半球的形象思维活动，诱发出灵感思维突现，从而可以使人产生新的理论、新的思路、新的突破、新的创造，推动和促进科学的发展和飞跃，这是可以实现的。这也说明为什么许多科学家、哲学家都爱好音乐，甚至有的科学家、哲学家也是音乐家。
第四节 音乐美与科学美——科学求真也求美
音乐美自古以来就一直被人们所探索。古希腊的数学家、音乐家毕达哥拉斯主要从数的和谐与感情净化的角度，探讨音乐美的本质。毕达哥拉斯学派首先从乐音的构成发现发音体数量上的差别，与音调高低之间的比例关系，从审美听觉上的音乐谐和感与数量关系的研究中，提出了该学派最著名的思想，即音乐是和谐的统一。在这里，“和谐”作为一种音乐审美观念，是建立在对音乐形态构成的认识基础之上的。
古希腊哲学家赫拉克利特（公元前540—前480年）则是从乐曲高低音旋律的组合以及节奏上的长短音、曲调上的展开运动来谈音乐的和谐，从而给出了和谐在于事物的冲突和变化的思想。他认为“互相排斥的东西结合在一起，不同的音调造成的最美的和谐，一切都是从斗争所产生的”。他是用一种动态的认识方式来阐述音乐的审美观念。而柏拉图（公元前427—前347年）的音乐美学思想更多地体现出一种理性原则，柏拉图把美构成了不同的层次，即绝对美、智慧美、和谐美和形式美。关于音乐存在的美，他在《斐东篇》中强调，即使七弦琴打碎了或折断了，和谐这一看不见的，美丽而神圣的东西，也依然存在。
我国的《吕氏春秋》认为事物之间存在着系统层次上的同构关系。音乐“生于度量，本于太一”。“声出于和，和出于适”“凡乐，天地之和阴阳之调也”。
竹林七贤中的阮籍（210—263）的音乐美思想的核心，是音乐与天地自然乃至人心的谐和，主张以“和”为美，以“乐”为情。
“和谐”是音乐美的重要标志。这种“和谐”既表现在音乐的作品中，也表现在音乐的演奏中；既表现在音乐的外在形式上，也表现在内在的精神上，它通过旋律、和声、曲式、调性来表达出作曲家的心态和意境。
编者十分钟情于莫扎特的音乐，也非常热爱贝多芬的音乐。莫扎特在其钢琴协奏曲、小提琴协奏曲、单簧管协奏曲、长笛协奏曲中所表现出的优美、和谐，都会使人产生无限的美感，一种宁静、平和、明亮、透彻、纯净，还带有一点沉思惆怅。他以一颗天真的童心同你推心置腹地交谈，给你温馨，使你心平气和，抚慰着你的心灵。
莫扎特的音乐在形式上是音乐结构的对称性，对称是和谐美的一个重要特征。18世纪的音乐很讲究对称，这在莫扎特的音乐里尤为明显突出。追求和发现大自然的对称结构，是18世纪科学家的最高理想，也是18世纪欧洲科学精神的一个重要方面。莫扎特以其极度敏感的头脑和心灵，在他的音乐创作中体现了欧洲的这种精神，刻意追求对称性，体现出哪里有对称，那里就有绝对的和谐绝对的美。莫扎特的心是通过音乐的对称结构来陈述的。
编者特别喜爱莫扎特的著名的“G大调弦乐小夜曲”（作品525号），也曾参加过演奏。这个曲子的对称和谐，把你带入了一个优美、典雅、明朗、欢快、温馨、甜蜜的美丽仙境。结构上的和谐、声音上的和谐、心情上的和谐、人与人之间的和谐，都是无与伦比的。在G大调弦乐小夜曲中的第二乐章是复三部曲式结构的抒情浪漫曲，那种优美、甜蜜之情，令人回味无穷。而第四乐章的回旋曲又是如此的活泼欢快，情绪是那样的乐观热烈，第一主题在不同调上出现五次。莫扎特的小提琴协奏曲也是如此，如第四小提琴协奏曲（D大调）在最后乐章的回旋曲结构中，第一主题A和第二主题B在乐章前后各出现两次，而把第三主题C夹在当中形成ABABCABAB。这是巴洛克建筑的对称美，艳丽而宏美。
贝多芬音乐的和谐正像赫拉克利特所说的，音乐的美“一切都是从斗争中产生”。贝多芬的从绝望到斗争，从斗争到宁静，从宁静到取得辉煌的胜利，就是把不谐和转变为谐和。这在贝多芬的钢琴奏鸣曲、钢琴协奏曲、小提琴协奏曲，特别是在他的九部伟大的交响曲中都有突出的体现。和谐是从不和谐产生的，平衡是从不平衡得来的，贝多芬在乐曲的形式美上继承了海顿、莫扎特的成就，但又有所创新。而在乐曲的内在美上，他则远远超过了前人。他的音乐与莫扎特迥然不同，是另一种美。贝多芬音乐中没有哭没有泪，没有不解的惆怅和缠绵的悲哀，他总是给人以激情和力量，促使人迎接挑战，勇于奋进，战胜黑暗与困难，最后总是以宏伟的气势和胜利凯旋的欢呼，把乐曲结束在主和弦上，这是贝多芬音乐鹰式的美。但是贝多芬的第六交响曲（田园），则是呈现出大自然的和谐美，人和自然相互交融的高度的和谐美。它不是人类对自然的破坏，也不是自然对人类的惩罚，虽有暴风雨，但更多的是幽静、平和、幸福、欢乐和祝福，一切都是那么自然，人回归于大自然，成为大自然的一部分，享受着自然的哺育与恩惠。人在听这首乐曲的时候，内心会油然生出对大自然和谐美的赞叹，从而心旷神怡，产生超脱于世俗之感，这就是音乐美。
当人们置身于大自然中，会惊叹自然界的奇妙的秩序与和谐，自然界物质运动的美妙的动态和均衡。描述自然科学，往往用数学符号和方程式，用数学表达出的自然界的和谐与均衡，也呈现出一种美的境界。
18世纪的瑞士数学家欧拉因其天才和伟大的创造力，堪称数学领域的“莫扎特”，而莫扎特则可称是音乐领域中的“欧拉”。欧拉（Euler，1707—1783）是18世纪的伟大的数学家、物理学家，是历史上对数学贡献最大的四位数学家之一。他的惊人的创造力很像莫扎特：从18岁开始写作，直到76岁逝世为止，一共发表论文、著作500多篇（部）。若加上他生前未及出版和发表的手稿，就有886篇之多。他具有非凡的毅力，勤奋刻苦拼搏精神，在双目失明的17年中，他口述了400篇论文和著作，并完成了许多复杂的分析问题，这一点又很像双耳失聪的贝多芬。他高尚的品质，赢得了世人广泛的尊敬。
音乐和数学是人类精神的两种最伟大的创造，欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一，莫扎特则是人类历史上最伟大的作曲家之一，他们都是用他们自己掌握的特殊语言表现同一时代的人类精神。
数学是一门十分抽象的纯理性科学，其抽象程度可与音乐的抽象相媲美。数学用很多特定的符号、函数关系、各种形式的方程式、图形以及逻辑推理，来解释自然界和社会的现象。而这些符号、关系、表达式、图形和推理过程，会引起人们无限的遐想，从遐想中去思索，从思索中谋求解答；或者为了求解某个问题，去思索、幻想、甚至猜想，构造出各种模型，把自然规律抽象为一些符号和公式，再通过逻辑推理演绎，形成一幅自然界完美和谐的图像，这都是一个美的过程。
编者记起在中学时期学习解析几何时，用椭圆方程画出椭圆，用抛物线方程画出抛物线，用双曲线方程画出双曲线，在X、Y坐标上画出绝对对称的图形，一种美感油然而生。而求解解析几何的变换——求解——反演的特征，即先把一个几何问题变换为一个相应的代数问题，然后求解这个代数问题，最后反演代数解而得到几何解的这一过程，又多么类似于作曲家在写作一个乐章时，常常用主题变奏的手法，来演绎作曲家的思想，最后又回到主调，得到一个令人满意的解答。
数学是一门美的科学，有很多数学家和科学家对数学美进行了有意义的论述。19世纪的大数学家高斯（J。C。F。Gauss）说“数学是科学的皇后”，它对于塑造优美的人性来说，有着意想不到的功能。16世纪末曾任伦敦市长的英国数学家兼教育家比林斯利（S。H。Billingsley）发现数学具有美化人性的功能，他说：“许多艺术都能美化人们的心灵，但却没有哪一门艺术比数学更有效地修饰人们的心灵。”英国数学家哈代认为，数学和艺术一样，美是它的第一标志。曾为牛顿和贝多芬作传的沙利文说：“因为科学理论的主要宗旨是发现自然中的和谐，所以我们能够立即看到这些理论必定有美学价值。”波尔兹曼对在气体分子运动理论上做出贡献的麦克斯韦尔有一段很有见解的描述，他说：“既然一个音乐家能从头几个音节辨认出莫扎特、贝多芬、舒伯特，那么一个数学家也可以从头几页文章辨认出柯西、高斯、雅可比、赫姆霍兹……，有谁不知道麦克斯韦尔在气体动力学理论方面的论文呢”，“从一边杀来了状态方程，从另一边又杀出了在中心场中的运动方程，公式的混乱有增无减，突然我们听到……就象音乐中那样，低音中的一个原来还是主要的修饰突然沉寂了，看来是不可克服的那些东西都被排除了，象有一根魔杖一挥一样”，“麦克斯韦尔没有用注释的音符写标题音乐，一个个结果接踵而至，直到最后，意外的高潮——热平衡和输运系数的解释同时得到，帷幕就降落了”。数学和音乐一样，是波浪起伏的，高潮只是戏剧性的冲突达到了白热，或是取得了辉煌的胜利时达到。只有具备鉴赏能力的人才能欣赏它的美，只有具有丰富科学实践的人，才能用自己的理解赋予抽象的公式以充实的内容。
数学本身就蕴含着一种令人神往的东西——数学美。
毕达哥拉斯学派曾提出，一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。
数学本身的对称性、谐和性、奇异性、严谨性、统一性就构成了数学美的最突出的表现。
代数中的交换律、结合律和分配律是一种美：
a b=b a，a×b=b×a
（a b） c=a （b c），（a×b）×c=a×（b×c）
a×（b c）=a×b a×c
三角学中的三角函数的和角公式对称性也是一种美。
sin（α β）=sinαcosβ cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
cos（α β）=cosαcosβ-sinαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ
面对无穷级数，你可以想的很远很远，一旦收敛，则有车到山前必有路的美感。
若给定的函数f（x）是可以无限次微分的并在它的收敛区间内可表示为x-a的幂级数，则
f（x）=f（a） f′（a）（x-a） …… f（n-1）（a）/（n-1）！（x-a）n-1 ……
这就是泰勒展开式。
借助泰勒展开式和马克劳林展开式，就会使你惊奇地得出长长的三角函数表、对数函数表、指数函数表，还可借助计算机进行对π的计算（超过五十万位小数），奇妙极了！
概率论中的正态分是一个绝对称的图形，很像一个钟，从负无穷大到正无穷大，它会引起你很多遐想。
印度数学家拉曼努章曾发现一个奇妙的式子
n（n 2）
这个式子无论是无限地延续下去，还是在这一无限过程中的任一步中止，它都是正确的，令人惊叹！
表现为数学美的例子不胜枚举。
音乐美、数学美相互呼应，艺术与科学相结合，构成一幅完美和谐的宇宙图像。
主要参考文献
1.修海林、罗小平：《音乐美学通论》，上海：上海音乐出版社1997年版。
2.恩里科·福比尼著：《西方音乐美学史》，修学建译，长沙：湖南文艺出版社2005年版。
3.高兴主编：《音乐多维视角》，北京：文化艺术出版社2004年版。
4.H。伊夫斯：《数学史上的里程碑》，北京：北京科学技术出版社1990年版。
5.M。克莱因著：《古今数学思想》，上海：上海科学技术出版社1979年版。
6.童忠良、王忠人、王斌清著：《音乐与数学》，上海：上海音乐出版社1996年版。